机器学习中的数学(2)-线性回归，偏差、方差权衡

机器学习中的数学(2)-线性回归，偏差、方差权衡

线性回归定义：

在上一个主题中，也是一个与回归相关的，不过上一节更侧重于梯度这个概念，这一节更侧重于回归本身与偏差和方差的概念。

回归最简单的定义是，给出一个点集D，用一个函数去拟合这个点集，并且使得点集与拟合函数间的误差最小。

第二张图是二次曲线，对应的函数是y = f(x) = ax^2 + b。

第三张图我也不知道是什么函数，瞎画的。

第四张图可以认为是一个N次曲线，N = M - 1，M是点集中点的个数，有一个定理是，对于给定的M个点，我们可以用一个M - 1次的函数去***的经过这个点集。

真正的线性回归，不仅会考虑使得曲线与给定点集的拟合程度***，还会考虑模型最简单，这个话题我们将在本章后面的偏差、方差的权衡中深入的说，另外这个话题还可以参考我之前的一篇文章：贝叶斯、概率分布与机器学习，里面对模型复杂度的问题也进行了一些讨论。

线性回归(linear regression)，并非是指的线性函数，也就是

x0,x1…表示一个点不同的维度，比如说上一节中提到的，房子的价钱是由包括面积、房间的个数、房屋的朝向等等因素去决定的。而是用广义的线性函数：

最小二乘法与***似然：

概率分布是一个可爱又可恨的东西，当我们能够准确的预知某些数据的分布时，那我们可以做出一个非常精确的模型去预测它，但是在大多数真实的应用场景中，数据的分布是不可知的，我们也很难去用一个分布、甚至多个分布的混合去表示数据的真实分布，比如说给定了1亿篇网页，希望用一个现有的分布（比如说混合高斯分布）去匹配里面词频的分布，是不可能的。在这种情况下，我们只能得到词的出现概率，比如p(的)的概率是0.5，也就是一个网页有1/2的概率出现“的”。如果一个算法，是对里面的分布进行了某些假设，那么可能这个算法在真实的应用中就会表现欠佳。最小二乘法对于类似的一个复杂问题，就很无力了

偏差、方差的权衡(trade-off)：

偏差(bias)和方差(variance)是统计学的概念，刚进公司的时候，看到每个人的嘴里随时蹦出这两个词，觉得很可怕。首先得明确的，方差是多个模型间的比较，而非对一个模型而言的，对于单独的一个模型，比如说:

这样的一个给定了具体系数的估计函数，是不能说f(x)的方差是多少。而偏差可以是单个数据集中的，也可以是多个数据集中的，这个得看具体的定义。

方差和偏差一般来说，是从同一个数据集中，用科学的采样方法得到几个不同的子数据集，用这些子数据集得到的模型，就可以谈他们的方差和偏差的情况了。方差和偏差的变化一般是和模型的复杂程度成正比的，就像本文一开始那四张小图片一样，当我们一味的追求模型精确匹配，则可能会导致同一组数据训练出不同的模型，它们之间的差异非常大。这就叫做方差，不过他们的偏差就很小了，如下图所示：

用一个很通俗的例子来说，现在咱们国家一味的追求GDP，GDP就像是模型的偏差，国家希望现有的GDP和目标的GDP差异尽量的小，但是其中使用了很多复杂的手段，比如说倒卖土地、强拆等等，这个增加了模型的复杂度，也会使得偏差（居民的收入分配）变大，穷的人越穷(被赶出城市的人与进入城市买不起房的人），富的人越富（倒卖土地的人与卖房子的人）。其实本来模型不需要这么复杂，能够让居民的收入分配与国家的发展取得一个平衡的模型是***的模型。

***还是用数学的语言来描述一下偏差和方差：

对于上面公式的***部分，我们可以化成下面的形式：

下图也来自PRML：

这是一个曲线拟合的问题，对同分布的不同的数据集进行了多次的曲线拟合，左边表示方差，右边表示偏差，绿色是真实值函数。ln lambda表示模型的复杂程度，这个值越小，表示模型的复杂程度越高，在***行，大家的复杂度都很低（每个人都很穷）的时候，方差是很小的，但是偏差同样很小（国家也很穷），但是到了***一幅图，我们可以得到，每个人的复杂程度都很高的情况下，不同的函数就有着天壤之别了（贫富差异大），但是偏差就很小了（国家很富有）。

版权声明：本文内容由网络用户投稿，版权归原作者所有，本站不拥有其著作权，亦不承担相应法律责任。如果您发现本站中有涉嫌抄袭或描述失实的内容，请联系我们jiasou666@gmail.com 处理，核实后本网站将在24小时内删除侵权内容。